samedi 06 décembre 2008

Le Logiciel POLP

Que l’on ait un télescope du commerce ou que l’on soit en train de fabriquer son télescope soit même, la question se pose inévitablement : Mon miroir est-il bien supporté ?

 Le miroir d’un télescope est un disque de pyrex. La face supérieure est la surface optique, la parabole, recouverte d’une fine couche d’aluminium réfléchissante. La face inférieure, le dos, vient reposer dans le barillet du télescope. Ce barillet assure le maintien du miroir et permet le réglage de l’axe optique. Le barillet supporte généralement le poids du miroir sur trois points. Il faudra multiplier les points d’appuis si le miroir, du fait de sa faible épaisseur, tend à fléchir.

 Tout le problème est de savoir si les flexions du miroir entre ses points d’appuis seront tolérables. C'est-à-dire que la déformation du miroir sera suffisamment faible pour ne pas détériorer l’image de diffraction. Imaginez un bon miroir à lambda/20*. L’image d’une étoile qu’il donnerait pourrait être très médiocre si, le nombre de ses points de supportage étant trop faible, les déformations engendrées étaient supérieures à lambda/4. On imagine qu’un disque de verre de quelques centimètres d’épaisseur est indéformable. Il faut préciser qu’une déformation pourtant très faible de 0,14 millième de millimètre (1.4^-04mm) transforme votre beau miroir dont vous êtes si fiers et dont vous exhibez le bulletin de contrôle, en miroir très médiocre. C’est aussi pourquoi, une pièce optique ne doit pas subir de contraintes et donc, que le barillet doit être bien étudié.

 Il n’est pas facile de trouver des explications à la fois simples et précises sur ce sujet pourtant d’une grande importance, alors faisons le point. Ouvrons notre bible à nous, c'est-à-dire ‘Lunettes et télescopes’ de Danjon et Couder (éditions Blanchard, première édition en 1935), au paragraphe 120 : ‘Flexions des miroirs’. Nous y trouvons une formule magique, la très célèbre R⁴/e².R étant le rayon, demi diamètre du miroir primaire. e étant l’épaisseur du miroir, le tout en centimètres. Ce rapport va nous guider dans la conception du support du miroir primaire du télescope. Notons que l’exposant 4 du rayon comparé à l’exposant 2 de l’épaisseur signifient visiblement que plus le rayon sera élevé, donc un miroir de grand diamètre, plus les problèmes de flexions seront sérieux.

Prenons un exemple : Soit un T114/900. Son miroir est de diamètre 11,4cm et épais de 1,2cm. Il a un rapport R⁴/e² de 5,7 ⁴/1,2²= 1055,6/1,44=733.

 Danjon et Couder n’avaient pas de puissants ordinateurs pour modéliser ce problème mais ils ont quand même pu calculer les déformations pour des miroirs de diamètres et épaisseurs variables. Il en ressort d’après eux, et nous nous en contenterons grandement, trois valeurs limites que nous allons détailler.

 Jusqu’à 1000 :

Pour un petit instrument comme le T114/900 cité plus haut, le rapport R⁴/e² est inférieur à 1000 (733). Ce miroir peut donc se contenter de trois points d’appuis répartis à 120° au plus proche du diamètre extérieur du miroir. Les vis de réglage faisant office de points d’appuis permettront une bonne précision car sur un diamètre important.

 Entre 1000 et 3000 :

Un miroir de 20cm épais de 2cm à un R⁴/e² de 2500. Il faut donc améliorer le support. Danjon et Couder autorisent l’usage d’un ‘coussin’ constitué de plusieurs couches de flanelle. Aujourd’hui, on préfère quelque chose de plus mécanique et moins aléatoire. Pour un miroir tel que celui-ci, l’idéal sera de ramener les points d’appuis vers le centre de gravité du miroir afin que les déformations soient mieux réparties car moins accumulées vers le centre du miroir. Les trois points d’appuis se rapprocheront alors jusqu’à un rayon valant 0,55 fois le rayon du miroir, ces points étant chacun le centre de gravité d’une portion d’un tiers du miroir. Voir la première figure. La suite vous montrera comment optimiser la détermination de ce rayon. En effet, on peut par exemple négliger les déformations au centre du miroir, celui-ci étant masqué par le miroir secondaire.

 Entre 3000 et 13000 :

Il va falloir ici trouver un autre système de supportage. En fait, c’est très simple. Nous allons reprendre les trois points d’appuis du paragraphe précédent et nous allons les démultiplier. Chaque point supportera par l’intermédiaire d’une rotule, un triangle appelé ‘triangle de flottaison’. Ce triangle sera donc libre de fléchir sur son côté le plus chargé. Chaque triangle recevra trois points d’appuis où viendra reposer le miroir. C’est donc sur 9 points que le miroir reposera. (Voir la deuxième figure). Chaque point, du fait de l’articulation des triangles, recevra la même charge que les autres. Ces 9 points ne seront pas disposés au hasard, les trois points centraux seront répartis à 120° sur un rayon valant 0,318 fois le rayon du miroir. Les six autres points seront répartis à 60° sur un rayon valant 0,771 fois le rayon du miroir. (Nous n’avons pas tenu compte ici de la surface centrale masquée par le miroir secondaire où donc, les déformations nous importent peu)

 Au dessus de 13000 :

Comment fait-on ?

Heureusement que l’informatique vient à notre secours. David Lewis a créé le logiciel PLOP (PLate OPtimizer) à partir d’une étude sur les flexions des miroirs de télescopes réalisée par Toshimi Taki. Ce logiciel inclus des optimisations dont celles de Luc Arnold de l’OHP. Le programme montre l’amplitude des flexions d’un miroir dont on a préalablement indiqué les caractéristiques, ainsi que celles du barillet qui le supporte. Tout est paramétrable. C’est un logiciel libre que chacun peut télécharger et utiliser.

Merci à eux. Nous pouvons donc envisager les miroirs les plus grands et les plus minces, les introduire dans le calcul et étudier le supportage qui leurs conviendra le mieux.

 Téléchargez le programme et installez-le, il n’est pas très volumineux, puis démarrez.

Tout est en anglais et très nébuleux au premier abord mais on s’y fait très vite. Lisez le mode d’emplois et la présentation du programme qui sont disponibles sur le Site, (voir aussi le glossaire en bas de page) tous les paramétrages sont clairement décrits. Pour vos premiers pas, utilisez la fonction « automatic cell design ». Il vous suffira de renseigner les éléments de bases, c'est-à-dire le diamètre du primaire et du secondaire, focale, épaisseur du primaire, nombre de supports. Lancer le calcul « start ».

Le résultat s’affiche très rapidement :

 Tout d’abord la déformation maximum du disque nommée ‘visible PV-error’. C’est l’écart entre le pic et la vallée (Peak-Valley) donc entre le point le plus haut de la surface et le point le plus bas. C’est la donnée brute de l’amplitude de la déformation sur le verre que vous pouvez visualiser sur le graphique ‘color plot’ décrit plus bas. La valeur devra être inférieure à 1,7^-05 pour rester en dessous de lambda/16.

 La deuxième valeur est nommée ‘RMS error’. C’est l’écart quadratique moyen ‘Root Mean Square’. Schématiquement, c’est la régularité de la surface. La valeur sera faible pour un miroir ayant une bosse ou un creux, elle deviendra élevée si ceux-ci sont nombreux même s’ils sont de faibles amplitudes (PV-error faible). Cette valeur devra être inférieure à 4,25^-06 car elle ne doit pas dépasser le quart de la valeur PV.

 Dans les fenêtres ‘graphic plot’, vous pouvez visualiser le disque du miroir avec la position des supports, le plan d’un triangle de flottaison, la grille de maillage du calcul en éléments finis, et les courbes de déformations du disque avec code de couleurs ‘color plot’. Dans l’onglet ‘edit as text’ de la fenêtre principale, vous avez un résumé des valeurs dont la positions des points de supportage (rayons et angles).

Vous vous apercevrez alors que ce logiciel est tout bonnement extraordinaire par sa précision et sa souplesse. Calculer le meilleur supportage d’un miroir devient rapidement une affaire passionnante.

 Il n’est plus permis, aujourd’hui d’avoir un bon miroir dans un mauvais barillet, alors bonne optimisation à tous.

Claude FERRAND

GLOSSAIRE & VARIABLES

Mirror cell                    Support du miroir

Variables
 

diameter                     Diamètre du primaire en mm
focal-Length               Longueur focale
f-ratio                          F/D du miroir
sagitta                          Flèche de l'arc de la parabole
rel-sagitta                    Flèche relative à l'épaisseur du miroir
thickness                      Epaisseur du primaire (<= 20% du primaire)
obstruction-radius       Rayon du miroir secondaire
rel-obs-radius             Rayon relatif du secondaire / primaire
hole-diameter              Diamètre du trou dans le miroir pour un Cassegrain
rel-hole-diameter        Diamètre relatif du trou. (fraction du diamètre du primaire)
num-support                Nombre de points d'appuis par rayons (Valeurs = support 3 points = 3 - Support 9 points= 3 6)
support-radii               Rayons des points d'appuis Exp. 45 120
rel-support-radii         Rayons des points d'appuis relativement au diamètre du primaire Epl.= .3 .8
support-angle              Angle du premier point sur chaque rayon. Les points sont ensuite répartis régulièrement. Exp.= 0 30
support-mesh-ring      
n-mesh-rings               Nombre de rayons de la toile pour le calcul en éléments finis.
mesh-radii
rel-force                       Epl.= 1 1.5 = Sur un 9 points, la force sur les 6 points extérieurs est 1,5x la force sur les 3 points intérieurs
points-on-ring  
basis-ring-size 
basis-ring-min   
optimize                         Optimisation
scan-set                        Scan une liste de valeur pour une variable Epl.= scan-set f-ratio 4 4.5 5 6 scan un même miroir avec différents F/D
scan-var                        Scan une plage de valeur pour une variable Epl.= scan-var diameter 100 200 5 scan de 100 à 200 avec un pas de 20mm
monte      
var                               Déclare une variable
density                         Densité du verre (kg/mm3)
modulus                       Module d'élasticité.    
poisson                        Module de Poisson 
 

Glossaire  

RMS                        1/4 de P-to-V soit 4.3E-6
Peak-valley             Du sommet au creu. 1/16 sur l'onde = 1.7E-5
FEM = Méthode par éléments finis 
Toutes dimensions en mm.    

* le lambda est utilisé comme mesure de la précision de la surface réfléchissante du miroir d’un télescope. Lambda est la longueur d’onde du rayonnement électromagnétique à laquelle le télescope est destiné. Ce peut être le mètre pour le radiotélescope, le centimètre et le millimètre pour la radioastronomie millimétrique (plateau de Bure). Pour nos télescopes, c’est la longueur d’onde de la lumière auquel l’œil est le plus sensible ; le jaune à environ 560 nanomètre (nm). Lambda/20 indique une précision de 560/20nm sur l’onde soit 28nm, donc de 14nm (1.4^-05mm) sur le verre du fait de l’aller retour de la réflexion qui double le chemin parcouru par l’onde lumineuse.